MATEMATICA

FUNCIÓN CUADRÁTICA

En matemáticas, una función cuadrática de una variable es una función polinómica definida por:

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}$

con ${\displaystyle a\neq 0}$.También se da el caso que se le llame Trinomio cuadrático. También se denomina función cuadrática a funciones definidas por polinomios cuadráticos de más de una variable, como por ejemplo:

${\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F}$

En este caso el conjunto de puntos que resultan al igualar el polinomio a cero representan lugares geométricos que siempre es posible reducir a una de las formas:

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}\pm \left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=c^{2},\qquad \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}\pm {\frac {y}{b}}=c}$

Que corresponden a tres tipos de secciones cónicas (elipse, hipérbola y parábola).

FUNCIÓN CUADRÁTICA DE UNA VARIABLE

Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas verticales (eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas), con la particularidad de que cuando a>0, el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma, siendo un mínimo (es decir, la parábola se abre "hacia arriba"), y cuando a<0 el vértice se encuentra en la parte superior, siendo un máximo (es decir, la parábola se abre "hacia abajo").

El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

La función derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral indefinida es una familia de funciones cúbicas.

Raíces

Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para los cuales ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\ }$. Son denotadas habitualmente como: ${\displaystyle x_{1}}$ y ${\displaystyle x_{2}}$, dependiendo del valor del discriminante Δ definido como ${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\ }$.

• Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo, ${\displaystyle \Delta >0}$:

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}$

• Corta la parábola al eje X en dos puntos diferentes.

• Una solución real(o solución doble) si el discriminante es cero, ${\displaystyle \Delta =0}$:

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}}$

• La parábola es tangente al eje X.

• La parábola no corta al eje X.

• El único caso restante es que el discriminante sea negativo, ${\displaystyle \Delta <0}$.

En tal caso, las raíces no son reales, sino que son dos números complejos conjugados:

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {-b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}}$

Representación analítica

Hay tres formas de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se le quiera dar a la función, un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc.

Forma desarrollada o polinómica

La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,}$

con ${\displaystyle a\neq 0}$.

Forma factorizada

Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:

${\displaystyle f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\,}$

siendo a el coeficiente principal de la función, y ${\displaystyle x_{1}}$ y ${\displaystyle x_{2}}$ las raíces de ${\displaystyle f(x)}$. En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0 entonces ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$ por lo que la factorización adquiere la forma:

${\displaystyle f(x)=a(x-x_{1})^{2}\,}$

En este caso a ${\displaystyle x_{1}}$ se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2. Si el discriminante es negativo, las soluciones son complejas, no cabe la factorización.

Forma canónica

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

${\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k\,}$

siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h, k) las coordenadas del vértice de la parábola.

Representación gráfica

Intersección con el eje y

La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

${\displaystyle y=f(0)=a\cdot 0^{2}+b\cdot 0+c\,}$

lo que resulta:

${\displaystyle y=f(0)=c\,}$

la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función.

A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen, ya que se da en los términos.

Intersección con el eje x

La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}$

es decir:

${\displaystyle y=0\quad \longmapsto \quad ax^{2}+bx+c=0\,}$

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen, como es sabido, por la expresión:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$.

Si la función no corta al eje x, la fórmula anterior no tiene solución real. Puede ocurrir que no tenga intersecciones con el eje x, como por ejemplo ${\displaystyle y=x^{2}+2}$.

NOTA: Sacado de sitio web.

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica